Hao, Zhaokuan (郝兆宽): Frege and Godel in Cantor's Eden
In 1885, one year’s after Frege’s Grundlagen being published, Cantor published his review of this work. The review is only one-page, but is concerned with an very important and also very interesting issue, that is the order priority of the concepts extension and cardinal numbers. Cantor’s review and Frege’s two months later response are not only of great historical interest but also closely related to a major problem in the foundation of mathematics today. In this talk, we try to argue that the essence of the problem lies in the relationship between the extension of concept and set itself. Although set theory has achieved great success since Cantor, the difficulties faced by its foundation may be related to it, and it is possible to find a mathematical solution with the help of Frege and Gödel's philosophical thinking. Slides

曽千里、熊明：直接自指的消除 (The Elimination of Direct Self Reference)
This paper provides a procedure which from any Boolean system of sentences, outputs another Boolean system called the ‘$m$-cycle unwinding’ of the original Boolean system for any positive integer $m$. We prove that for all $m > 1$, this procedure eliminates the direct self reference in the sense that the $m$-cycle unwinding of any Boolean system must be indirectly self-referential. More importantly, this procedure can preserve the primary periods of Boolean paradoxes: whenever $m$ is relatively prime to all primary periods of a Boolean paradox, this paradox and its $m$-cycle unwinding have the same primary periods. In this way, we can always produce an indirectly self-referential Boolean paradox which has the same periodic characteristics as a known Boolean paradox.

Yang, Sen (杨森): Minimal degrees in generalized recursion theory
Classical recursion theory can be built on the concept of recursive functions on $\omega$ and Cohen forcing can be used in various construcitons in classical recursion theory. One can replace $\omega$ with a generalized structure and define the concept of generalized recursive functions on it. $\alpha$-recursion theory is a version of such generalized recursion theory. We attempts to explore recursion theories more general than $\alpha$-recursion, in which useful constructions can be made using Prikry-type forcings, and to apply these constructions to $\alpha$-recursion theory.

申国桢：谢宾斯基纲领一百年
1918年，华沙学派的谢宾斯基（Sierpiński）提出了一个研究纲领，试图彻底弄清选择公理在每个数学定理的证明中所起的作用。我们以不依赖于选择公理的基数研究为主线，介绍百年来谢宾斯基纲领的研究进展，重点介绍报告人及其合作者在康托定理的推广的研究中的工作。

寇亮：作为概念论的逻辑——黑格尔、哥德尔与当代集合论

一般而言，当代哲学学者认为黑格尔的逻辑学和弗雷格之后的现代逻辑是两种学科。黑格尔的逻辑学是一种形而上学体系，而现代逻辑是以语言符号为核心的演算以及对这些符号系统的观察和思考。这种看法能很好地解释逻辑与语言哲学的紧密关系，亦可解释语言学转向后的分析哲学与德国哲学为代表的欧陆哲学之区别，还可解释当代模态逻辑及其各类应用的巨大发展。但是，这种解释也产生了几个自然的问题：第一，为什么黑格尔的逻辑和现代逻辑都被称为逻辑？第二，为什么数理逻辑被作为现代逻辑的一部分，并且是极其活跃的一部分？第三，为什么逻辑是数学哲学乃至哲学的重要部分？对这三个问题，流行的哲学有多种可能的回答，但我们试图讨论另一种可能的答案。本报告试图论证，黑格尔的逻辑学和现代逻辑具有惊人的相似之处，并从这个角度回答上述三个问题。我们将对比哥德尔的概念论与黑格尔的逻辑学，指出他们如何都将逻辑理解为概念论。此外，我们将利用当代集合论中的例子说明，当代数理逻辑的成果在这个框架下正是对黑格尔逻辑学的推广，并且当代数理逻辑的成果有助于我们对黑格尔哲学的理解。逻辑在这个意义上不仅是数学哲学的重要部分，亦是一般形而上学的重要部分。

吴近悦：有限性与可能性——论直觉主义数学中的“自由选择”概念

说起直觉主义和布劳威尔，一般大家的第一印象便是拒斥排中律，进而以为直觉主义相比经典数学的不同只是在于他们将数学建立在了一个更弱的逻辑系统之上，所以是纯粹消极的工作。但是事实上，布劳威尔引入了激进的数学概念，并凭借此得出了在经典数学中无法证明的结论。其中，最为著名的一个概念便是“选择序列”。选择序列首先是一个无穷长的自然数序列，但它的每一项不是一次性被固定下来的，而是从先前已经得到的数学对象当中自由地选择出来的。

布劳威尔基于选择序列的概念证明了很多定理，例如“所有全函数都是连续的”等等。我们不禁想问，这是如何可能的呢？毕竟，“自由”并不是一个十分清晰的概念，布劳威尔是如何将它运用于数学命题的证明的呢？通过观察他给出的种种证明可以发现，所谓的“自由”更确切的说，应该是一种不确定性，或者说是对象由于人认知能力的有限而不得不呈现出的无规则的特性。布劳威尔经常利用现有的数学知识还无法证明的开放问题，如pi的十进制扩张是否会遇到连续100个7、哥德巴赫猜想等等，来构造实数序列。通过这种方式，他将数学家（数学共同体）所具有的那种有限性嵌入到数学对象当中，并因而使其成为一个可以加以利用的数学性质。

但是这一性质该如何利用呢？为此，布劳威尔引入了时间的概念，进而区分了当下与未来、现实与可能。注意，时间对于布劳威尔来说现在不仅是一个容纳数学实体、进行心灵构造的容器或场所，同时也是对象内在的组成部分。正是作为一个未完成的、在时间中不断展开的过程，选择序列才能被称为“自由的”。另一方面，选择序列的自由很明显不能体现于已经发生过的事，而是总是与还未发生之事有关，所以它应该体现于事实可能的走向之中，亦即关于它的某种可能性中。

因此我认为，从有限性和可能性这两个概念切入，分析直觉主义数学中“自由选择”这一概念或许是有意义的。此外，我还将结合具体的定理和证明来考察它的涵义、用途和可能遇到的困难。

蔡海峰：算术知识的建构性辩护——对知识论的一个教条的挑战

如何阐释关于算术命题的知识，一直是认识论中一个备受争议的话题。当我们说“某人知道1+1=2”时，这是什么意义上的“知道”？经验论者如穆勒认为算术知识是人们根据大量对客观事物进行计数的经验而归纳概括出来的，但是经验论无法说明涉及超大数量的算术命题如何能得到经验辩护，以及为什么算术命题也能适用于非经验世界的对象。先验论者如弗雷格则认为算术命题实质上都能还原为逻辑命题，因而是不依赖于经验而为真的，算术知识建立在对数的定义和演绎推理的基础上，但是罗素悖论、哥德尔不完全性定理等逻辑问题的出现则表明先验论进路贯彻到底之艰难。

康德所提出的“先天综合判断”可以说是调和经验论和先验论的早期尝试，他认为算术命题“7+5=12”是不依赖于经验而只依据矛盾律而为真的（先天的），同时“12”的概念内容超出了“7”和“5”以及它们相加之和的概念内容，所以这个命题又需要加入经验直观才能认识到它为真（综合的）。然而，康德的论证理由在已经高度抽象的现代数学和逻辑学面前显得薄弱。如果算术命题包含有经验内容，那就不应该只依据矛盾律或其他纯逻辑定律就可以断定它的真假；而如果对数和运算的定义完全剔除掉经验内容，那我们也不需要加入经验直观就能认识到算术命题的真假。于是，康德似乎还是要么走向经验论要么走向先验论。经验论更合乎常识经验，却没有跟上现代抽象数学的步伐；先验论高度理智化和抽象化，却远离常人的算术知识。在发展出现代数学之前，就已经有很多人知道1+1=2；而现代数学出现以后，数学家们继续知道1+1=2。那么，在现代数学出现前后的算术知识，是同样的一种知识吗？即便在现代，没有学过高等数学的小学生也知道1+1=2；而学习了现代数理逻辑之后，一个人可以继续知道1+1=2。那么，一个人在学习过现代数学前后的算术知识，是同样的一种知识吗？以往对算术知识的阐释方案出现了两处很难一以贯之的断裂：一是从数学发展史上看，现代数学出现之前和之后人们对于算术知识的辩护依据似乎是不同的；二是从个体认知发展史上看，一个人在学习过现代数学之前和之后对于算术知识的辩护依据似乎也是不同的。而这两处断裂来源于一些共同的预设，以往的方案都认为：第一，相同形式的算术命题对于任何人而言都具有相同的内容；第二，相同形式的算术命题在任何时间都具有相同的辩护地位。

而这两个预设背后还有一个更深层次的预设，这个预设也是当代知识论中普遍默认的观点，本文称之为“知识论的一个教条”：知识的内容与对其辩护是相互独立的，如果认知主体S知道命题p，那么命题p所具有的内容并不依赖于S对p的辩护。基于这种观点，一个用特定语言形式表达的命题p，它的内容已经由表达它的语言的意义所决定，因此p的真值也已经确定了，S对命题p的辩护就是独立于p的确切内容与真值的，于是就有了知识论中传统的独立“三要素”分析。

本文将提出一种新的阐释算术知识的方案，尝试从认知发展的角度重新整合经验论与先验论，主张具有相同形式的算术命题在不同的认知阶段或环节具有不同的内容，不同内容的算术命题拥有不同的辩护，辩护的过程与命题内容的演化过程交织在一起。通过考察个体认知发展、社会历史发展以及数学-科学专业共同体发展中的算术知识，可以概括出算术知识的内容与辩护联合建构的认知模式。

Øystein Linnebo: Potentialism in the philosophy and foundations of mathematics
Aristotle famously claimed that the only coherent form of infinity is potential, not actual. However many objects there are, it is possible for there to be yet more; but it is impossible for there in fact to be infinitely many objects. Although this view was superseded by Cantor’s transfinite set theory, even Cantor regarded the collection of all sets as “unfinished” or incapable of “being together”. In recent years, there has been a revival of interest in potentialist approaches to the philosophy and foundations of mathematics. The lecture provides a survey of such approaches, covering both technical results and associated philosophical views, as these emerge both in published work and in work in progress. Slides

Leon Horsten: Mathematical rationality

In this talk I discuss the question:

When is it rational for a mathematician to believe a mathematical statement?

According to the received view, a mathematician's belief in a mathematical statement A isrational if she is justified in believing A. Moreover, she is justified in believing A if she hasgood reasons for believing A. Furthermore, since Gödel, a distinction is made betweenintrinsic and extrinsic reasons for mathematical beliefs.

Against this, I defend the externalist view that rationality should be conceived of as epistemically optimal behaviour in response to epistemological challenges. In particular, I argue that a mathematician can, in certain circumstances, rationally believe certain mathematical statements (basic mathematical axioms, for instance) without having propositionally structured reasons for them. In such cases, the mathematician is epistemically entitled to relevant beliefs without having justification for these beliefs.

韩林合：康德论意义与意指——弗雷格意义与意指之区分的来源

弗雷格最为重要的哲学贡献之一是其所做出的“意义”（Sinn）与“意指”（Bedeutung）之区分。在翻译和研究康德哲学特别是其第一批判过程中，笔者发现，此区分源于康德的相关论述。

按照康德的理解，一个概念的“Sinn”是指人们在诸显象（经验对象）之上展示该概念的意指的方式（die Art, an Erscheinungen [empirischen Gegenständen] ihre Bedeutung darzulegen），或者说在直观中展示与其相应的对象的方式（die Art, das ihm korrespondierende Objekt in der Anschauung darzulegen）。在第一批判以及其他著作中，康德常常将“Sinn”和“Bedeutung”联在一起使用，而且认为一个概念如果拥有“Bedeutung”，那么便拥有“Sinn”，因此，如果一个概念没有“Sinn”，那么这点也就意味着它没有“Bedeutung”。而且，一个概念可以有“Sinn”，但是并没有现实的“Bedeutung”，而是仅仅有想象的或假定的（angebliche）“Bedeutung”。由于没有“Sinn”的概念也就没有“Bedeutung”，因此，康德将“ohne Sinn”（没有意义）等同于“(ganz) leer”（［完全］空洞的）。从其大量相关用法中不难看出，康德应该已经有了欲做出弗雷格后来所做出的著名的Sinn和Bedeutung之分的想法。请看弗雷格的如下论述：“人们容易想到，就一个符号（名称，语词组合，书写符号）来说，除了将它所表示的东西——可以将这样的东西称为该符号的‘Bedeutung’——与它联系在一起以外，还将我称作该符号的‘Sinn’的东西与其联系在一起，而那种相关的被给出的方式（die Art des Gegebenseins）就包含在这样的东西之中。”“就一个专名来说，重要的事情是那个经由它所表示的东西是如何被给出的（wie der, die oder das durch ihn Bezeichnete gegeben ist）。给出它所表示的那个东西这样的事情可以以多种多样的方式进行，而一个包含着该专名的命题的一种独特的Sinn则对应着每一种这样的方式。”（G. Frege, Kleine Schriften, hrsg. von Ignacio Angelelli, Zweite Auflage, Hildesheim: Georg Olms Verlag, 1990, S. 144, 350）

在此要注意的是：弗雷格是联系着语言表达式做出这个区分的，而康德则是联系着概念进而联系着泛而言之的知识理解该区分的。

鞠实儿：无尽概念的再思考

康孝军：数学中的无穷概念

无穷一直以来都是数学哲学中的一个基本问题：数学中无穷集合或对象是否存在？一部分人认为：不存在。比如：严格有穷主义者就认为我们接触的时空与事物都是有穷的，因此仅仅存在有限的数学对象。自然，另一种可能的回答就是：数学中存在无穷对象。事实上，绝大部分数学工作者都或多或少涉及全体自然数集合等无穷对象。遗憾的是，不同数学流派的观点并未令彼此信服：一方面，严格有穷主义无法满意地解释无穷数学的可应用性；另一方面，如何认识各种无穷则是一个巨大的难题。

由于经典数学中包含无穷且大多数数学家日常工作中都会涉及自然数全集等无穷概念，因此，本文将暂时搁置无穷的知识论等问题，探讨数学实践中可能涉及的各种无穷概念。具体来说，首先，对潜无穷和实无穷进行了区分与简要述评。其次，梳理了数学实践中无穷概念，并指出康托继承了波尔查诺的无穷概念思想，波尔查诺因其有限思维和未区分潜无穷而错失建立无穷帝国的良机。

反推数学给无穷研究带来了新视角。反推数学是弗雷德曼和辛普森所倡导的一种数学基础新纲领。该纲领是从经典数学所需的定理“反推”公理。简言之，就是在基底系统下，证明定理与公理（集）的等价性。作为一种希尔伯特纲领的部分实现（S. G. Simpson, 1988），反推数学无疑继承了其对无穷的探讨。在对希尔伯特的有穷数学形式化中，已简要提及可利用反推数学来研究有穷和无穷概念。具体而言，首先，反推数学可将经典数学中的大部分无穷数学归约到有穷数学。其次，通过对超越二阶算术的高阶反推数学的研究，发现部分高阶数学在二阶数学中都有对应的部分。

利用反推数学的研究成果就可以初步探讨经典数学需要多大的无穷。从归约论的角度来看，一方面，有穷归约指出部分的无穷数学S可以关于Π10公式保守归约到PRA（S. Feferman, 1988）。另一方面，高阶反推数学告诉我们：不可数无穷或更大的无穷可以归约的方式找到在更基本概念或框架，如可数无穷中的对应系统。这似乎意味着经典数学不需要多大的实无穷概念，通过归约的思想似乎可以逐渐对无穷进行“降维”：从不可数到可数，再从可数归约到有穷数学。

不过从反推数学进一步研究发现：在处理某些高阶数学对象时，高阶反推数学是必需的（D. Normann; Sam Sanders, 2019），也就是说涉及到不可数无穷。对高阶反推数学的需求可以从两点来理解：二阶语言编码的局限性和不在常见系统中的定理。事实上，反推数学是从实用主义来寻找数学真理，结合“反推”方法的实用主义数学真理观将有助于这一问题的研究。“经典数学”包含哪些无穷部分实际上基于我们对数学的认识与需求。换言之，无穷的需求取决于数学实践自身中数学的实用性。

梁晓龙：对象层次结构及生成规则是否封闭对无穷观点的影响

有穷和无穷是数学哲学领域一直关注的一对概念，不同数学哲学观点对于一集、一类或一簇对象（后文简称为一类对象）的外延是否可以为无穷有着不同的看法。如康托尔对无穷的研究的成果逐渐形成了我们熟知的作为数学基础的集合论，而公理集合论中通常无穷集合的实在性，因此通常被认为持有实无穷主义哲学观；布劳威尔、海廷等学者基于构造性的想法，拒绝排中律和非构造性证明，从而形成了直觉主义哲学观，直觉主义者通常认为自然数等概念是在一个逐渐生成的过程中的，认为此过程可以潜在地、无限制地进行下去，因此通常被认为持有潜无穷主义哲学观；再如，Edward Nelson等哲学家持有更严格的严格有穷主义观点，认为一些过大的自然数同样不应被预设存在（也有观点认为希尔伯特等哲学家在规定数学证明长度有限方面也应被认为持有有穷主义观）。

在这些观点之外，还存在一些其他的尝试，如认为潜无穷主义和实无穷主义两种哲学观都隐含了对生成过程无穷的预设，而（严格）有穷主义则预设了生成对象的规则或者是封闭的，或者产生了循环，故可以与之相对地提出折中的哲学观点，这种观点通常关注于现实实践中能把握的生成对象的过程，不预设生成对象的过程可以无限制地进行下去，也不预设生成过程存在确定的终点[Ju2020]。

在对不同的数学哲学观的对有穷或无穷的看法进行分析可以注意到，（以自然数为例的）对象的外延界的方式和结构定会对哲学观上认为有穷还是无穷产生重要的影响。一方面，对象生成方式对于一类对象是否有穷具有一定的决定作用：如生成规则产生循环会产生典型的严格有穷主义；另一方面，对象的层次结构也会影响到数学哲学观：如部分持实无穷主义为主的集合论学者关于集合概念通常持有“传递”的观点——集合的元素依然是集合，而持潜无穷主义或有穷主义为主的类型论学者通常认为对象是分层次的——存在不同层次的各阶类型。

本文的工作即是从上述思路出发，分别研究生成规则封闭或不封闭的情形，以及对象是单一层次结构或分层结构的情形，探讨不同情形下的数学哲学观的典型特点。同时本文将重点研究不封闭并且分层结构这一组受到关注较少的组合，尝试探讨这类特殊的数学哲学观的特点，并尝试说明这种观点是一种相比于有穷主义、潜无穷主义、实无穷主义而言预设更少的折中方案。本文最后将尝试在这种（预设更少的）观点中分析公理集合论中常见的若干“有穷/无穷”的定义所倾向的哲学预设。